Вычислительные аспекты векторного алгоритма метода Монте-Карло для решения нелинейного интегрального уравнения

Получить точное решение нелинейного интегрального уравнения обычно невозможно. Численное решение таких уравнений связано со значительными трудностями. Если функция, являющаяся решением нелинейного интегрального уравнения, зависит от большого числа переменных, то трудоёмкость методов, связанных с приближённой заменой интеграла суммой, оказывается очень большой. В линейном случае эта трудность также имеет место и преодолевается во многих случаях использованием метода Монте-Карло. Для решения интегрального уравнения с полиномиальной нелинейностью предложена векторная оценка, построенная на реализациях однородного ветвящегося марковского процесса. Исследована целесообразность использования предложенной оценки. Рассматриваемая векторная оценка основана на интегрировании по части переменных. Поскольку такое интегрирование может разве лишь уменьшить дисперсию, то дисперсия векторной оценки будет всегда не более дисперсии оценки, предложенной нами ранее. Кроме того, мажорантные условия для векторной оценки слабее, чем для обычной оценки. На примере квадратичной нелинейности показано, что выполнение суммирования до полного построения дерева ведет к большому объему вычислений. Поэтому нужно сначала построить дерево, а потом производить суммирование, начиная с точек поглощения на траектории. Если же начинать от начала траектории, то память, необходимая для запоминания промежуточных результатов, будет возрастать экспоненциально с ростом количества частиц. Таким образом, производить вычисления в прямом порядке нецелесообразно. Приведенные рассуждения, очевидно, справедливы и в случае уравнения более высокой степени. Полученные результаты расширяют возможности метода Монте-Карло при решении специального класса задач.

1. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

2. Ермаков С.М. О суммировании рядов, связанных с интегральными уравнениями // Вестник Ленинградского университета. № 1. Сер. 1. Л., 1983.

3. Федоренко Н.И. Об одной несмещенной оценке решения нелинейного интегрального уравнения // Известия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2001. Вып. 9 (167). С. 150–156.